Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	(1+ sec 2α)(1+ sec 4α)(1+ sec 8α)...(1+ sec 2ⁿα ) = tan (2ⁿα).cot α
m.a.w.	$\prod_{i=1}^{n}\: \left [1+\sec \:(2^{i}\alpha ) \right ]=tan\: (2^n\alpha )\cdot cot\: \alpha$
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=1+\sec \: 2\alpha =1+\frac{1}{cos\: 2\alpha }=\frac{cos\: 2\alpha +1}{cos\: 2\alpha }=\frac{2.\cos ^2\alpha }{cos\: 2\alpha}$ $RL=\tan 2\alpha .\cot \alpha =\frac{\sin 2\alpha .\cos \alpha }{\cos 2\alpha .\sin \alpha }=\frac{2.\sin \alpha .\cos^2 \alpha }{\cos 2\alpha .\sin \alpha }=\frac{2.\cos ^2\alpha }{\cos 2\alpha }$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	(1+ sec 2α)(1+ sec 4α)(1+ sec 8α)...(1+ sec 2^kα ) = tan (2^kα).cot α
	Te bewijzen :	(1+ sec 2α)(1+ sec 4α)(1+ sec 8α)...(1+ sec 2^kα )(1+ sec 2^k+1α ) = tan (2^k+1α).cot α
	Bewijs :	${\color{Purple} [ We\; gebruiken:\quad 1+\cos 2\alpha = 2.\cos^2 \alpha \: \; \; en \; \; \tan 2\alpha =\frac{2.\tan \alpha }{1-\tan^2 \alpha } ]}$ $LL=\tan\: 2^k\alpha \: \cdot \cot \alpha \cdot (1+\sec \: 2^{k+1}\alpha )$
		__ $=\tan\: 2^k\alpha \: \cdot \cot \alpha \cdot \left (1+ \frac{1}{\cos \: (2.2^{k}\alpha)} \right )$
		__ $=\tan\: 2^k\alpha \: \cdot \cot \alpha \cdot \left (\frac{\cos (2.2^{k}.\alpha)+1}{\cos \: (2.2^{k}.\alpha)} \right )$
		__ $=\tan\: 2^k\alpha \: \cdot \cot \alpha \cdot \left (\frac{2.\cos ^2\: (2^{k}.\alpha)}{\cos ^2\, (2^{k}.\alpha)-\sin ^2\, (2^{k}.\alpha)}\right )$
		__ $=\tan\: 2^k\alpha \: \cdot \cot \alpha \cdot \left (\frac{2}{1-\tan ^2\: (2^k\, \alpha )}\right )$
		__ $= \cot \alpha \cdot \left (\frac{2.\tan \: (2^k\, \alpha )}{1-\tan ^2\: (2^k\, \alpha )}\right ) = \cot\, \alpha \cdot \tan\, (2.2^k\, \alpha )$
		__ $= \cot\, \alpha \cdot \tan\, (2^{k+1}\, \alpha ) = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP